Enunciado

Encontre a sére de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = x

a = 16

Passo 1

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:

Passo 2

Podemos escrever f(x) como:

x   = f 3 + f ' 3 x + f ' ' ( 3 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' 3 3 !   x 3 + f 4 ( 3 ) 4 ! x 4 + ⋯  

Usando os dados do passo 1, temos:

4 0 ! x - 16 0 + 1 2 ⋅ 1 4 ⋅ 1 1 ! x - 16 1 - 1 4 ⋅ 1 4 3 ⋅ 1 2 ! x - 16 2 + 3 8 ⋅ 1 4 5 ⋅ 1 3 ! x - 16 3 + ⋯

Em termos de série, podemos escrever:

4 + 1 8 x - 16 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 3 2 5 n - 2 n ! x - 16 n  

Para encontrarmos o raio de convergência da série podemos aplicar o seguinte critério:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 1 x - 16 n + 1 2 5 n - 3 n ! ⋅ 2 5 n - 2 n ! 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 3 x - 16 n  

= lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 | x - 16 | 2 5 ( n + 1 ) = | x - 16 | 32 l i m n → ∞ 2 n - 1 n + 1    

Dividindo o numerador e denominador por 2n, temos:

| x - 16 | 32 l i m n → ∞ 2 n - 1 n + 1 = | x - 16 | 16 < 1

Portanto, para convergência temos que

x - 16 < 16

Logo R = 16 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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